Zahlensysteme & Speicher

Worum geht es?

Ein Zahlensystem legt fest, mit welchen Ziffern und welcher Basis Zahlen geschrieben werden. In der AP1 brauchst du drei Systeme sicher: das Dezimalsystem (Basis 10, gewohnt aus dem Alltag), das Binärsystem (Basis 2, die Sprache des Computers) und das Hexadezimalsystem (Basis 16, eine kompakte Kurzschrift für Binärwerte). Dazu kommen die Speichereinheiten von Bit und Byte bis GiB.

• Dezimal: Ziffern 0-9, Stellenwerte sind Potenzen von 10 (1, 10, 100, ...).
• Binär (dual): Ziffern 0 und 1, Stellenwerte sind Potenzen von 2 (1, 2, 4, 8, ...).
• Hexadezimal: Ziffern 0-9 und A-F, Stellenwerte sind Potenzen von 16 (1, 16, 256, ...).

Stellenwertsysteme verstehen

In jedem dieser Systeme hat jede Stelle einen festen Stellenwert: Basis hoch Position, von rechts mit Position 0 beginnend. Der Wert einer Zahl ist die Summe aus Ziffer mal Stellenwert. Genau dieses Prinzip ist der Schlüssel zu allen Umrechnungen.

Beispiel binär: 1011 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 11 (dezimal). Beispiel hexadezimal: 2F = 2*16 + 15*1 = 47 (dezimal).

Merksatz: Stellenwert = Basis hoch Stellennummer (rechts beginnt bei 0). Gesetzte Stellen mit ihrem Stellenwert multiplizieren und alles addieren.

Dezimal nach Binär umrechnen (Rechenweg)

Die zuverlässigste Methode ist die fortlaufende Division durch 2. Man teilt die Zahl wiederholt durch 2 und notiert jeden Rest. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die Binärzahl.

Beispiel 13 nach binär:

• 13 : 2 = 6 Rest 1
• 6 : 2 = 3 Rest 0
• 3 : 2 = 1 Rest 1
• 1 : 2 = 0 Rest 1

Reste von unten nach oben: 1101. Probe: 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Passt.

Hexadezimal als Kurzschrift fürs Binäre

Eine Hexstelle entspricht genau 4 Bit (einem Nibble), denn 4 Bit liefern 2^4 = 16 mögliche Werte. Deshalb rechnet man zwischen Binär und Hex nibbleweise: Binärzahl von rechts in Vierergruppen teilen und jede Gruppe in eine Hexziffer übersetzen.

• 1011 1100 -> 1011 = 11 = B, 1100 = 12 = C, also BC.
• Umgekehrt: F = 1111, A = 1010, 0 = 0000.
• A-F stehen für die Dezimalwerte 10-15.
• Ein Byte (8 Bit) wird immer von genau zwei Hexstellen dargestellt, z. B. FF = 255.

Merksatz: 1 Hexstelle = 1 Nibble = 4 Bit, 2 Hexstellen = 1 Byte. Immer in Vierergruppen denken, dann verrutscht nichts.

Bit, Nibble, Byte

Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit mit den Zuständen 0 oder 1. Vier Bit bilden ein Nibble, acht Bit ein Byte. Mit n Bit lassen sich 2^n verschiedene Werte unterscheiden - ein Byte kann also 2^8 = 256 Werte (0 bis 255) darstellen.

• 1 Nibble = 4 Bit = eine Hexstelle (16 Werte).
• 1 Byte = 8 Bit = 256 Werte (0-255).
• Achtung: kleines b meint Bit, großes B meint Byte. 1 Byte = 8 Bit.

Speichereinheiten: binär (KiB) vs. dezimal (KB)

Bei Speichergrößen werden zwei Präfix-Familien verwechselt. Dezimale Präfixe (kB, MB, GB, TB) rechnen in 1000er-Schritten, binäre Präfixe (KiB, MiB, GiB, TiB) in 1024er-Schritten. Hersteller von Festplatten werben dezimal, Betriebssysteme rechnen traditionell binär - daher zeigt eine "1 TB"-Platte im System nur rund 0,91 TiB.

• 1 kB = 1000 Byte, 1 KiB = 1024 Byte.
• 1 MB = 10^6 = 1.000.000 Byte, 1 MiB = 1024^2 = 1.048.576 Byte.
• 1 GB = 10^9 Byte, 1 GiB = 1024^3 = 1.073.741.824 Byte.

Merksatz: Das kleine "i" (KiB, MiB, GiB) steht fuer "binär" und damit für 1024. Ohne "i" ist es dezimal (1000).

Typische Prüfungsaufgaben

So begegnen dir diese Themen in der AP1 - und so vermeidest du die häufigsten Fehler:

• Umrechnen zwischen Binär, Dezimal und Hex - immer den Rechenweg notieren, denn dafür gibt es Teilpunkte.
• Datenrate gegen Datenmenge: "Wie lange dauert ein 100-MByte-Download bei 100 Mbit/s?" Hier zuerst auf eine Einheit bringen (1 Byte = 8 Bit).
• Kapazitäten: gegebene Größe Schritt für Schritt mit den Faktoren 8 (Bit/Byte) und 1024 (je binärer Stufe) umrechnen.
• Häufigster Fehler: Bit und Byte verwechseln (Faktor 8) oder dezimale und binäre Präfixe mischen.

Prüfungsmodus

Dieser FluxCheck führt dich durch die wichtigsten AP1-Aspekte dieses Themas. Du kannst Antworten prüfen, Fragen überspringen und bekommst am Ende eine Auswertung nach Kategorie.